勾股定理数学多种证明方法论文(优质3篇)
勾股定理数学多种证明方法论文 篇一
第一篇内容
引言：
勾股定理是数学中的重要定理之一，它描述了直角三角形中三边长度之间的关系。在本篇论文中，我们将介绍勾股定理的多种证明方法，并通过比较它们的优缺点来展示数学证明的多样性和智慧。
证明方法一：几何证明
首先，我们来介绍最常见的几何证明方法。在几何证明中，我们利用图形关系和几何定理来证明勾股定理。例如，我们可以通过构造一个直角三角形，并利用三角形的内角和为180度的性质来证明勾股定理。
证明方法二：代数证明
其次，我们将介绍代数证明方法。在代数证明中，我们利用代数运算和方程的性质来证明勾股定理。例如，我们可以通过设定一个方程组，利用代数运算和方程的解来证明勾股定理。
证明方法三：向量证明
接下来，我们将介绍向量证明方法。在向量证明中，我们利用向量的性质和运算来证明勾股定理。例如，我们可以将直角三角形的边长表示为向量，并利用向量的内积和模长的关系来证明勾股定理。
证明方法四：数学归纳法证明
最后，我们将介绍数学归纳法证明方法。在数学归纳法证明中，我们利用数列的性质和数学归纳法的原理来证明勾股定理。例如，我们可以通过构造一个数列，并利用数列的递推关系来证明勾股定理。
比较和总结：
通过比较这些不同的证明方法，我们可以发现它们各自的优缺点。几何证明方法直观易懂，但在证明过程中可能需要引入额外的几何定理。代数证明方法简洁明了，但需要一定的代数知识和计算能力。向量证明方法利用向量的性质，具有一定的几何直观性，但需要熟悉向量运算和性质。数学归纳法证明方法具有递推性和普适性，但需要构造数列和应用数学归纳法。
综上所述，勾股定理的多种证明方法展示了数学证明的多样性和智慧。不同的方法可以从不同的角度和思维方式来解决问题，丰富了数学的研究和应用。在今后的学习和研究中，我们应该灵活运用不同的证明方法，以拓宽我们的数学思维和解题能力。
勾股定理数学多种证明方法论文 篇二
第二篇内容
引言：
勾股定理是数学中的重要定理之一，它描述了直角三角形中三边长度之间的关系。在本篇论文中，我们将介绍勾股定理的多种证明方法，并通过比较它们的优劣来探讨数学证明的思维方式和逻辑性。
证明方法一：几何证明
首先，我们来介绍几何证明方法。几何证明通过构造直角三角形和利用几何定理来证明勾股定理。这种证明方法直观易懂，但可能需要引入额外的几何定理，增加了证明的复杂性。
证明方法二：代数证明
其次，我们将介绍代数证明方法。代数证明通过设定方程组和利用代数运算来证明勾股定理。这种证明方法简洁明了，但需要一定的代数知识和计算能力。
证明方法三：向量证明
接下来，我们将介绍向量证明方法。向量证明通过利用向量的性质和运算来证明勾股定理。这种证明方法具有一定的几何直观性，但需要熟悉向量运算和性质。
证明方法四：数学归纳法证明
最后，我们将介绍数学归纳法证明方法。数学归纳法证明通过构造数列和利用数学归纳法的原理来证明勾股定理。这种证明方法具有递推性和普适性，但需要构造数列和应用数学归纳法。
比较和总结：
通过比较这些不同的证明方法，我们可以发现它们在思维方式和逻辑性上的差异。几何证明方法具有直观性，适合于展示证明过程的几何关系。代数证明方法注重于运算和计算，能够简洁明了地证明定理。向量证明方法结合了几何直观性和向量性质，具有一定的优势。数学归纳法证明方法具有递推性和普适性，能够从整体上展示证明过程。
综上所述，勾股定理的多种证明方法展示了数学证明的思维方式和逻辑性。不同的证明方法可以从不同的角度来解决问题，拓宽了数学的研究和应用。在今后的学习和研究中，我们应该灵活运用不同的证明方法，以提高我们的数学思维和解题能力。
勾股定理数学多种证明方法论文 篇三
勾股定理数学多种证明方法论文
在同学们整个中学的学习生活和实际生活中，我们都会遇到有关直角三角形的计算和测量，那就是勾股定理的运用。我们老师不仅要教会同学们学会勾股定理数学文化知识，更重要的是要让我同学们在日常生活中去灵活运用以及有关它存在的各种数学模型中。还要能感受我们今天的学习都是古代数学家们经过大量的实践与证明的得到的东西，探索数学知识从无到有的文化。勾股定理的发现与证明都是十分精彩的，在历史长河中，勾股定理是全世界人的伟大发现。
今天我们教科书上的多种证明，在此一一列举出来，可能对同学们学习数学以及培养数学兴趣有所帮助。并在今后的学习中铺平道路，对勾股定理有趣的文化有一个更加深刻的认识。
一、勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之一，在我国最古老的数学经典著作《周髀算经》上记载着这样一段历史：西周开国之初（约公元前一千多年）有一个叫商高的数学家对周公（周武王的弟弟，封在鲁国当诸候）说：把一根直尺折成直角，两端连结起来构成一个直角三角形.它的短直角边称为勾，长直角边称为股，斜边称为弦。发现如勾为3，股为4，那么弦必为5。这就是勾股定理，又称商高定理。
在西方公元前六世纪到公元前五世纪希腊数学家毕达哥拉斯也发现这一定理，并给出了证明，但他的证明也已失传。后来欧几里得写《几何原本》时，给出一个证明留传至今（后文我们再补充，丰富同学们的视野）。因而西方称这一定理为毕达哥拉斯定理。这一定理在数学上有广泛的应用，而且工程技术，测量中也有许多应用。它在人类文明史上有重要的地位。
而在中国的有一位古代数学家赵爽在继商高之后证明了勾股定理。他这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系（与我们今天教科书上一些证明方法的大致类似）。既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有所发展。稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的'分合移补略有不同而已。
二、勾股定理的多种证明方法（以教科书编排为序）：
第一种证明：教科书P3，通过直接数出正方形A、B、C的小方格数，将不足一格的方格算半个。结果来看它们之间的关系。小方格数即为面积。由此方法可以得出正方形A、B的面积与正方形C的面积相等。
第二种证明：教科书P8，如图所示：
分析：正方形EFGH的面积=正方形ABCD-周围四个小三角形的面积。
计算：正方形ABCD边长为a+b，则面积为（a+b）2，小三角形
第三种证明：教科书P8，如图所示：
分析：正方形ABCD=正方形EFGH+小正方形EFGH周围的四个小三角形的面积。
计算：正方形EFGH的边长为b-a，则面积为（b-a）2，小三角形的面积为，代入分析里面的公式得：（b-a）2+4祝ǎ？a2+b2，而正方形ABCD的面积也可表示为：c2，所以：a2+b2=c2
这里验证勾股定理的方法，据载最早是由三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的。我国历史上将图中弦上的正方形称为弦图。这也是2002年世界数学家大会（ICM-2002）在北京召开的会标。如右图所示中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！
第四种证明：教科书P11，是美国总统Garfield（伽菲尔德总统）于1876年给出的一种验证勾股定理的办法。整个事情经过是这样的：在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是，伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
如图所示：
分析：四边形ABED是直角梯形，可通过求梯形的面积减掉两个小三角形的面积而得出△ACB的面积。
计算：由梯形面积公式得梯形面积为[（a+b）祝╝+b）]？，△ADC与△BEC的面积和为：ab，所以△ACB的面积=梯形的面积-△ADC与△BEC的面积和，代入以上数据进行化简得：，由图中可知△ACB的面积也可以表示为。因此=，最后得出：a2+b2=c2
第五种证明：教科书P13，是历史上有名的“青朱出入图”如图所示。刘徽在他的《九章算术注》中给出了注解，大意是：△ABC直角三角形，以勾为边的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方，以盈补虚，将朱、青二方并成弦方。依其面积关系有2+b2=c2。“青朱出入图不用运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理，真是“无字证明”！
第六种证明：教科书P15-16，
意大利文艺复兴时代的著名画家达·芬奇对勾股定理也曾进行了研究。他的验证勾股定理的方法可以从下面的实验中得到体现。
（1）在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a、b正方形，并连接BC、FE（如图①示）。
（2）沿ABCDEFA剪下，得到两个大小相同的纸板Ⅰ，Ⅱ，如图②所示。
（3）将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成如图③所示的图形。
（4）比较图①，图③中两个多边形ABCEEF和A’B’C’D’E’F’的面积，发现两个的面积是一样的。就能得出勾股定理的存在。
本种证明补充说明一下：同样两个纸板翻了下，就能证明，很明显，原图中剪掉的两个小三角形面积都在，翻一下只不过将剪掉的两个小正方形合并为一个正方形了，从而得出勾股定理的存在。
第七种证明：教科书P16，也是“无字证明”如图所示，过较大正方形的中心，作两条互垂直的线，将其分成4份，然后，将这四个部分围在四周，小正方形填在中间，恰好得到大正方形。
第八种证明（书本上没有列出）：
欧几里德对直角三角形三边关系上有着独特的方法进行了论证，证明过程如图所示：
证明：在Rt△ABC中，∠BAC=90埃訟B、AC、BC为边向外有三个正方形：正方形ABDE，正方形ACGF，正方形BCHJ。连接DC、AJ。过A点作AN⊥JH，垂足为N，交BC于M。先通过SAS，可得△ABJ≌△DBC，因此它们的面积相等。而正方形ABDE的面积=2△DBC的面积，长方形BMNJ的面积=2△ABJ的面积。因此，正方形ABDE的面积=长方形BMNJ的面积。同理可得正方形ACGF的面积=长方形CMNH的面积。从而：BC2=AB2+AC2，即：a2+b2=c2。
三、结束语
通过以上的八种证明方法，相信同学们对于勾股定理会铭记在心，使这个烙印永远烙在心底，为数学的学习树立更为坚定的信心，为明天的学习奠定更为坚实的基础，为心中的理想目标迈出成功的一步。让这次洗礼成为中学学习生活中最为难忘的一堂课，而且在今后的运用中会更加得心应手，我也相信你们会向古代数学家们一样，遇到问题会去探索、发现、归纳和概括。
