二次函数的知识点总结(优选3篇)
二次函数的知识点总结 篇一
在学习数学的过程中，我们经常会遇到二次函数的概念和相关知识。二次函数是一种常见的数学函数，它的图像呈现出抛物线的形状，具有许多重要的性质和特点。本文将对二次函数的一些基本概念和重要知识进行总结和介绍。
首先，我们来了解二次函数的定义和基本形式。二次函数是一个以x为自变量的函数，其一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。其中，a决定了抛物线的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；b决定了抛物线的位置和对称轴的位置；c则是抛物线的纵坐标平移量。
接下来，我们需要了解二次函数的图像特点。二次函数的图像是一个抛物线，其对称轴是一个垂直于x轴的直线，可以通过计算得到对称轴的方程x = -b/2a。同时，二次函数的图像在对称轴上有一个顶点，顶点的横坐标为对称轴的x值，纵坐标为对应的函数值。此外，二次函数的图像还有一个重要的性质是轴对称性，即以对称轴为轴进行翻转后，图像仍然保持不变。
然后，我们来讨论二次函数的零点和因式分解。二次函数的零点是使得函数值等于0的x值，可以通过解二次方程来求得。二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，a不等于0。我们可以使用求根公式或者配方法来求解二次方程，得到的解即为二次函数的零点。此外，二次函数还可以进行因式分解，将其表示为两个一次函数的乘积形式。
接下来，我们需要了解二次函数的最值问题。由于二次函数的图像是一个抛物线，因此它的最值问题是非常重要的。对于开口向上的二次函数，它的最小值就是顶点的纵坐标；而对于开口向下的二次函数，它的最大值也是顶点的纵坐标。
最后，我们来讨论二次函数的平移和缩放。通过改变二次函数的系数a、b、c，我们可以对其进行平移和缩放。当a的绝对值变大时，抛物线的开口变得更加尖锐；而当a的绝对值变小时，抛物线的开口变得更加平缓。当b的值变化时，抛物线会在水平方向上发生平移，向左或向右移动；而c的值的变化则会使抛物线在垂直方向上发生平移，向上或向下移动。
以上就是二次函数的一些基本概念和重要知识的总结。通过对二次函数的学习，我们可以更好地理解和应用这一重要的数学概念，为解决实际问题提供帮助。
二次函数的知识点总结 篇二
在数学学科中，二次函数是一种重要的函数类型，具有许多重要的性质和应用。本文将对二次函数的知识点进行总结和介绍，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
首先，我们来了解二次函数的定义和基本形式。二次函数是一种以x为自变量的函数，其一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。其中，a决定了抛物线的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；b决定了抛物线的位置和对称轴的位置；c则是抛物线的纵坐标平移量。
接下来，我们需要了解二次函数的图像特点。二次函数的图像是一个抛物线，其对称轴是一个垂直于x轴的直线，可以通过计算得到对称轴的方程x = -b/2a。同时，二次函数的图像在对称轴上有一个顶点，顶点的横坐标为对称轴的x值，纵坐标为对应的函数值。此外，二次函数的图像还有一个重要的性质是轴对称性，即以对称轴为轴进行翻转后，图像仍然保持不变。
然后，我们来讨论二次函数的零点和因式分解。二次函数的零点是使得函数值等于0的x值，可以通过解二次方程来求得。二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，a不等于0。我们可以使用求根公式或者配方法来求解二次方程，得到的解即为二次函数的零点。此外，二次函数还可以进行因式分解，将其表示为两个一次函数的乘积形式。
接下来，我们需要了解二次函数的最值问题。由于二次函数的图像是一个抛物线，因此它的最值问题是非常重要的。对于开口向上的二次函数，它的最小值就是顶点的纵坐标；而对于开口向下的二次函数，它的最大值也是顶点的纵坐标。
最后，我们来讨论二次函数的平移和缩放。通过改变二次函数的系数a、b、c，我们可以对其进行平移和缩放。当a的绝对值变大时，抛物线的开口变得更加尖锐；而当a的绝对值变小时，抛物线的开口变得更加平缓。当b的值变化时，抛物线会在水平方向上发生平移，向左或向右移动；而c的值的变化则会使抛物线在垂直方向上发生平移，向上或向下移动。
通过对二次函数的学习，我们可以更好地理解和应用这一重要的数学概念，为解决实际问题提供帮助。二次函数的知识点总结 篇一
二次函数的知识点总结 篇三
1、二次函数及其图像
二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2bxc(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
一般式
y=ax∧2；bxc(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a)；
顶点式
y=a(xm)∧2k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；
交点式
y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线]；
重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的'绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)
y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2)(y1为截距)
求根公式
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的二次函数
x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a
(即一元二次方程求根公式)
求根的方法还有因式分解法和配方法
在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像
如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。
2、画出对称轴，并注明X=什么
3、与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质
轴对称
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
顶点
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，4ac-b^2；)/4a)
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2；-4ac=0时，P在x轴上。
开口
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
决定对称轴位置的因素
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号
当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b 2a="">0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定抛物线与y轴交点的因素
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)
抛物线与x轴交点个数
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)
当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在
{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2c(a≠0)
特殊值的形式
7.特殊值的形式
①当x=1时y=abc
②当x=-1时y=a-bc
③当x=2时y=4a2bc
④当x=-2时y=4a-2bc
2、二次函数的性质
8.定义域：
R
值域：(对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a，
正无穷)；②[t，正无穷)
奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数。
周期性：无
解析式：
①y=ax^2bxc[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下；
⑶极值点：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)；
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ>0，图象与x轴交于两点：
([-b-√Δ]/2a，0)和([-b√Δ]/2a，0)；
Δ=0，图象与x轴交于一点：
(-b/2a，0)；
Δ<0，图象与x轴无交点；
②y=a(x-h)^2k[顶点式]
此时，对应极值点为(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；
③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0)
对称轴X=(X1X2)/2当a>0且X≧(X1X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦(X1X2)/2时Y随X的增大而减小，此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连用)。
交点式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1X2值。
用函数观点看一元二次方程
1.如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此就是方程的一个根。
2.二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。
实际问题与二次函数
在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。
